La geometría del taxi. Parte II

Para que entiendas este post, o para que verdaderamente lo disfrutes, es necesario que leas esto con anterioridad:
http://www.matemagica.com.ar/2011/11/la-geometria-del-taxi.html

Lo que haremos ahora es ver el comportamiento de figuras conocidas como el triángulo, la circunferencia y la elipse en el mundo de la geometría del taxi. Los resultados son asombrosos, contradictorios y antiintuitivos. Te invito a que te asombres vos también, vení, seguí leyendo...

Un ejemplo con triángulos.
La geometría euclídea (tradicional) contiene el enunciado sobre triángulos conocido como el "criterio lado-ángulo-lado de congruencia de triángulos", que afirma lo siguiente:
si tenemos dos triángulos con vértices ABC y A'B'C' respectivamente de lados AB, AC, BC y A'B', A'C', B'C' de manera que AB = A'C' y AC = A'C' con el ángulo BAC igual a B'A'C', entonces el lado BC es igual al lado B'C', es decir, los triángulos son congruentes.
En palabras más coloquiales, el enunciado quiere decir que si dos triángulos tienen dos lados de igual longitud y el ángulo delimitado por éstos es el mismo en cada triángulo, entonces el tercer lado tiene la misma longitud en ambos triángulos, es decir, que los triángulos son iguales.
Este resultado aparentemente tan obvio es una absoluta falsedad según la geometría del taxi.
Considérense los triángulos de vérticas A = (3;1), B = (1,3), C = (5,3) y A₁ = (4;4), B₁ = (8;4), C₁ = (4;0) representados en el gráfico siguiente:

Se puede comprobar que:

d_T (A;B) = 4 = d_T (A₁;B₁)

y que:

d_T (A;C) = 4 = d_T (A₁;C₁)

Por tanto, en taxi-distancia, los lados b = b₁ y c = c₁. Nótese también que el ángulo BAC coincide con el ángulo B₁A₁C₁ (En el ejemplo es de 90º). Pese a ello, el lado a no mide lo mismo que el lado a₁. En el ejemplo se observa que uno de los triángulos es equilátero (los tres lados son iguales) y el otro es isósceles (sólo tiene dos lados iguales). Son triángulos distintos, lo que contradice a la geometría euclídea.

Sobre circunferencias.
La circunferencia es omnipresente tanto en el mundo natural como en el mundo construido por los hombres, por lo que se trata quizás de la figura geométrica más sencilla y fácil de describir. Si se piensa en una circunferencia, acuden a la mente multitud de objetos circulares, y muchos de ellos contienen la propia definición de la figura y ayudan a comprenderla de manera precisa. Por ejemplo, al considerar las ruedas de la bicicleta, resulta evidente que todos los rayos deben tener la misma longitud, de lo contrario sería muy difícil pedalear y muy fácil caerse de la bicicleta. Todos los rayos tienen la misma longitud porque todos los puntos que contiene el neumático están a la misma distancia del centro. He aquí la definición técnica de la circunferencia en un plano:
Se denomina "circunferencia" al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo.
Este punto fijo se denomina centro y el valor de la equidistancia se denomina longitud del radio.
Así, si se escoge un punto cualquiera P de la circunferencia (de centro A y radio r) se verificará que d(P;A) = r. Por ejemplo, si se toma como centro A = (2;-1) y por radio 3 unidades, gráficamente el conjunto de todos los puntos P que verifican la relación anterior para los valores de A y de r será la circunferencia siguiente:

El dibujo anterior se ha realizado considerando la distancia euclidea, pero si se dibuja la circunferencia según la taxi-distancia se pbtiene un resultado muy distinto... y realmente extraño, como puede verse a continuación:

Se puede comprobar que efectivamente los puntos P de esta circunferencia en taxi-distancia verifican d_T = (P;A) = r, con A = (2;1) y r = 3. En la taxi-distancia se hace posible lo que siempre ha parecido absurdo: la cuadratura del círculo.
Si en el ejemplo considerado se calcula el perímetro de la circunferencia en términos tradicionales, usando la clásica fórmula per = 2 . Π . r, se obtendrá per = 2 . Π . 3 = 18,849. En cambio la longitud de la circunferencia en la taxi-distancia es de 6 + 6 + 6 + 6 = 24 unidades, y además, expulsa a Π fuera de la cuestión.

Sobre elipses.
Muchas otras figuras que en la geometría euclidea son completamente fiables se comportan de manera excéntrica en la taxi-geometría; por ejemplo, la elipse. Una elipse es el conjunto de puntos la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos es constante. A estos puntos fijos se les denomina focos. Nótese que la circunferencia es un caso particular de la elipse, en el que ambos focos coinciden en un punto central.
En el siguiente ejemplo, los focos son A = (-3;0) y B = (3;0) y la constante 10 unidades. Por tanto, los puntos P que verifican d(P;A) + d(P;B) = 10 son los siguientes:

Si se sustituye la distancia euclidea por la taxi-distancia, se obtiene que el conjunto de puntos P que verifican d(P;A) + a(P;B) = 10 dan, de nuevo, una representación del todo inesperada:

Estos ejemplos demuestran que la forma de las figuras geométricas no es una verdad universal, eterna e inmutable, sino que es relativa, por difícil que parezca. Depende de la métrica o distancia que se usa para calcularla, lo que equivale a decir que depende del color del cristal con que se mira.
Pero la taxi-distancia no es sólo un divertimento que produce curiosidades. Tiene muchas aplicaciones en urbanismo. Por ejemplo, permite distribuir en el territorio urbano instalaciones de interés público con criterios de cercanía o proximidad (hospitales, escuelas, puntos turísticos, etc.), y es fundamental también en la planificación de rutas.

La geometría del taxi.

En las últimas semanas, me interné y me dejé llevar por el atrapante mundo de las geometrías no euclídeas. Si bien no quiero que las geometrías no euclídeas sean el tema central del presente post, es necesario citarla.
No todo lo que nos enseñaron en la escuela es así o, al menos, siempre es así. Algo de eso pasa en la geometría. He aquí una muestra simple es intuitiva de como cosas que para nosotros son naturalmente así o únicamente así pueden ser de otra manera. Disculpe si le parece largo, pero lo invito a leerlo de igual manera, tómese su tiempo, lealo por partes, déjese llevar, le aseguro que arrepentirse no estará entre sus opciones cuando termine de leer. Espero que le resulte igual de interesante que lo que me resultó a mi. Sin más preámbulos comienzo con la exposición:

Un primer acercamiento.
Cuando alguien se desplaza de su domicilio al trabajo, en otro punto de la zona en que vive, calcula el tiempo que tardará en llegar en base a la distancia que debe recorrer, y a menudo descubre con desagrado que los cálculos no se corresponden con la realidad. El tráfico, los semáforos, la desposición de las calles..., todo parece confabularse en contra de los planes que se han hecho. El problema es que cuando uno imagina el trayecto, lo dibuja en su mente de manera geométricamente ideal, a veces, incluso, casi en linea recta; y la realidad no es geométricamente ideal. No sólo se trata de semáforos abarrotados o camiones ocupados en descargas imprevistas; los cálculos están determinados porque las manzanas de casas no son perfectamente cuadradas, los cruces de las calles no describen ángulos rectos perfectos... ¿Significa eso que es imposible diseñar un buen trayecto para ir a trabajar por la mañana?

Ubíquese en el plano de la izquierda. Si se considera que cada manzana de casas mide una unidad: ¿cuál es la distancia entre el punto rojo y el punto azul?

Al observar el dibujo es fácil pensar en un triángulo compuesto por la hipotenusa, que sería la línea recta entre los dos puntos, y los catetos, que serían las calles que llevan en L de un lugar a otro. En el ejemplo presente, uno de los catetos mide 4 unidades y el otro 2. Si se aplica el teorema de Pitágoras (a² + b ² = c²) se obtiene que la hipotenusa mide: 

√(4² + 2 ²)= √20 = 4,47 unidades. Si lo que se pretende calcular es el tiempo de desplazamiento, es evidente que esa distancia induce a engaño, porque no se puede ir de un punto a otro en línea recta. La distancia será, como mínimo, la suma de los catetos, es decir, 6 unidades.Se puede intentar ensayar varias trayectorias alternativas para encontrar la más rápida. Hay muchas variables: combinar movimiento verticales y horizontales, doblar en la primera calle y después en la segunda, o esperar dos calles para doblar,... No obstante, la distancia recorrida será en todos los trayectos de 6 unidades.

Lo invito a que lo intente, a que se desafíe y lo compruebe, hay sólo 15 posibilidades, no más, en todas la distancia es la misma: 6.

Así, parece que la distancia real no es la que se presenta a primera vista, la que la lógica indica, o la que los recursos de cálculo tradicionales permiten descubrir. Aparece un concepto de distancia distinto al usual, la denominada distancia del taxi (taxi-distancia). Quizás parezca una broma, pero este concepto de distancia dio origen a la taxi-geometría.

La taxi-distancia.

La distancia que habitualmente se enseña en la escuela es la distancia euclídea. Ésta deriva del teorema de Pitágoras y establece que la distancia entre dos puntos P y Q de coordenadas P = (x₁; y₁) y Q = (x₂; y₂) es: 

d(P; Q) = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² 

En contrapartida, la distancia mínima que mide el desplazamiento real en una ciudad en forma de cuadrícula se define como:

d_T(P; Q) = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|

Esta distancia alternativa se conoce como distancia de Manhattan o distancia de Minkowski, por ser su descubridor, Hermann Minkowski. A nivel más popular y haciendo gala de cierto sentido del humor, es denominada distancia del Taxi.
En los gráficos siguientes, la longitud de la línea punteada indica el valor de la distancia euclídea, y la suma de las longitudes de los segmentos laterales indica el valos de la distancia del taxi. si el punto C indica el origen de coordenadas, se puede asignar al punto A las corrsdenadas (2; 1) y, al punto B las coordenadas (0; 5). Así la distancia euclidea es de 4,47 unidades y la taxi-distancia es de 6 unidades. Nótese que la ubicación del origen de coordenadas no afecta al cálculo de ninguna de las distancias.

Invitación a pensar.
Ya definidos ciertos criterios necesarios, te invito a que los leas y releas hasta que les encuentres sentido, es simple, no es complicado.
En el siguiente post vamos a ver algunos ejemplos de figuras geométricas en la taxi-metría que van en contra de la intuición, que contradicen leyes milenarias pero respetando a la geometría, que sorprenden hasta dejarnos boquiabiertos...
Nos vemos!

Diferencia entre un matemático y un biólogo.

Este ejemplo sirve para ilustrar algunas diferencias entre personas que eligieron estudiar en la misma facultad, pero que tienen intereses distintos. Tuve la tentación de escribir que presenta (nos presenta) a los matemáticos como un poco bobos. Sin embargo, no estoy tan seguro de que sea así. Los dejo juzgar a ustedes.
Una persona tiene delante de si a dos científicos: un matemático y un biólogo. El objeto es plantearles a ambos un problema y ver qué tipo de respuesta daría cada uno. Les muestra entonces los elementos que tiene arriba de una mesa:

1. Un calentador con kerosene en el tanque.
2. Una pava con agua.
3. Fósforos.
4. Una taza.
5. Un saquito de té.
6. Una cucharita

El primer problema, consiste en hacer un té. El biólogo dice:
- Primero, pongo la pava con agua arriba del calentador. Enciendo un fósforo y con él, el calentador. Espero que hierva el agua. Pongo el saquito de té dentro de la taza. Vierto el agua dentro de la taza y revuelvo con la cucharita para que el saquito de té tiña el agua.
El matemático (y no hay error de redacción): - Primero, pongo la pava con agua arriba del calentador. Enciendo un fósforo y con él, el calentador. Espero que hierva el agua. Pongo el saquito de té dentro de la taza. Vierto el agua dentro de la taza y revuelvo con la cucharita para que el saquito de té tiña el agua.
- Bien, responde el examinador-. Ahora les planteo otro problema: supongamos que les doy el agua hervida y les pido que hagan el té. ¿Qué haría cada uno?
El biólogo contesta: -Bueno, en ese caso, pongo el saquito de té dentro de la taza. Vierto el agua ya hervida dentro de la taza y revuelvo con la cucharita para que el saquito de té tiña el agua.
El matemático dice, entonces: -Yo no. Yo espero a que el agua se enfríe y paso al caso anterior.
Sé que muchos de ustedes coincidirán con el biólogo. Pero al mismo tiempo los invito a reflexionar que el matemático tiene su razón: una vez que resolvió el caso más complicado, el primero que le plantearon, sabe que cualquier otra cosa que le propongan dentro del contexto la tiene resuelta. Y apela a ello. ¿No es interesante la vida así también?

Cabe aclarar que este contenido no es de mi autoría sino del gran Dr. Adrián Paenza. Más precisamente de su libro "Matemática ¿Estás ahí? Episodio I"