La geometría del taxi. Parte II

Para que entiendas este post, o para que verdaderamente lo disfrutes, es necesario que leas esto con anterioridad:
http://www.matemagica.com.ar/2011/11/la-geometria-del-taxi.html

Lo que haremos ahora es ver el comportamiento de figuras conocidas como el triángulo, la circunferencia y la elipse en el mundo de la geometría del taxi. Los resultados son asombrosos, contradictorios y antiintuitivos. Te invito a que te asombres vos también, vení, seguí leyendo...

Un ejemplo con triángulos.
La geometría euclídea (tradicional) contiene el enunciado sobre triángulos conocido como el "criterio lado-ángulo-lado de congruencia de triángulos", que afirma lo siguiente:
si tenemos dos triángulos con vértices ABC y A'B'C' respectivamente de lados AB, AC, BC y A'B', A'C', B'C' de manera que AB = A'C' y AC = A'C' con el ángulo BAC igual a B'A'C', entonces el lado BC es igual al lado B'C', es decir, los triángulos son congruentes.
En palabras más coloquiales, el enunciado quiere decir que si dos triángulos tienen dos lados de igual longitud y el ángulo delimitado por éstos es el mismo en cada triángulo, entonces el tercer lado tiene la misma longitud en ambos triángulos, es decir, que los triángulos son iguales.
Este resultado aparentemente tan obvio es una absoluta falsedad según la geometría del taxi.
Considérense los triángulos de vérticas A = (3;1), B = (1,3), C = (5,3) y A₁ = (4;4), B₁ = (8;4), C₁ = (4;0) representados en el gráfico siguiente:

Se puede comprobar que:

d_T (A;B) = 4 = d_T (A₁;B₁)

y que:

d_T (A;C) = 4 = d_T (A₁;C₁)

Por tanto, en taxi-distancia, los lados b = b₁ y c = c₁. Nótese también que el ángulo BAC coincide con el ángulo B₁A₁C₁ (En el ejemplo es de 90º). Pese a ello, el lado a no mide lo mismo que el lado a₁. En el ejemplo se observa que uno de los triángulos es equilátero (los tres lados son iguales) y el otro es isósceles (sólo tiene dos lados iguales). Son triángulos distintos, lo que contradice a la geometría euclídea.

Sobre circunferencias.
La circunferencia es omnipresente tanto en el mundo natural como en el mundo construido por los hombres, por lo que se trata quizás de la figura geométrica más sencilla y fácil de describir. Si se piensa en una circunferencia, acuden a la mente multitud de objetos circulares, y muchos de ellos contienen la propia definición de la figura y ayudan a comprenderla de manera precisa. Por ejemplo, al considerar las ruedas de la bicicleta, resulta evidente que todos los rayos deben tener la misma longitud, de lo contrario sería muy difícil pedalear y muy fácil caerse de la bicicleta. Todos los rayos tienen la misma longitud porque todos los puntos que contiene el neumático están a la misma distancia del centro. He aquí la definición técnica de la circunferencia en un plano:
Se denomina "circunferencia" al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo.
Este punto fijo se denomina centro y el valor de la equidistancia se denomina longitud del radio.
Así, si se escoge un punto cualquiera P de la circunferencia (de centro A y radio r) se verificará que d(P;A) = r. Por ejemplo, si se toma como centro A = (2;-1) y por radio 3 unidades, gráficamente el conjunto de todos los puntos P que verifican la relación anterior para los valores de A y de r será la circunferencia siguiente:

El dibujo anterior se ha realizado considerando la distancia euclidea, pero si se dibuja la circunferencia según la taxi-distancia se pbtiene un resultado muy distinto... y realmente extraño, como puede verse a continuación:

Se puede comprobar que efectivamente los puntos P de esta circunferencia en taxi-distancia verifican d_T = (P;A) = r, con A = (2;1) y r = 3. En la taxi-distancia se hace posible lo que siempre ha parecido absurdo: la cuadratura del círculo.
Si en el ejemplo considerado se calcula el perímetro de la circunferencia en términos tradicionales, usando la clásica fórmula per = 2 . Π . r, se obtendrá per = 2 . Π . 3 = 18,849. En cambio la longitud de la circunferencia en la taxi-distancia es de 6 + 6 + 6 + 6 = 24 unidades, y además, expulsa a Π fuera de la cuestión.

Sobre elipses.
Muchas otras figuras que en la geometría euclidea son completamente fiables se comportan de manera excéntrica en la taxi-geometría; por ejemplo, la elipse. Una elipse es el conjunto de puntos la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos es constante. A estos puntos fijos se les denomina focos. Nótese que la circunferencia es un caso particular de la elipse, en el que ambos focos coinciden en un punto central.
En el siguiente ejemplo, los focos son A = (-3;0) y B = (3;0) y la constante 10 unidades. Por tanto, los puntos P que verifican d(P;A) + d(P;B) = 10 son los siguientes:

Si se sustituye la distancia euclidea por la taxi-distancia, se obtiene que el conjunto de puntos P que verifican d(P;A) + a(P;B) = 10 dan, de nuevo, una representación del todo inesperada:

Estos ejemplos demuestran que la forma de las figuras geométricas no es una verdad universal, eterna e inmutable, sino que es relativa, por difícil que parezca. Depende de la métrica o distancia que se usa para calcularla, lo que equivale a decir que depende del color del cristal con que se mira.
Pero la taxi-distancia no es sólo un divertimento que produce curiosidades. Tiene muchas aplicaciones en urbanismo. Por ejemplo, permite distribuir en el territorio urbano instalaciones de interés público con criterios de cercanía o proximidad (hospitales, escuelas, puntos turísticos, etc.), y es fundamental también en la planificación de rutas.

Si has encontrado útil este artículo puedes compartirlo desde tu blog, página Web o foro.

URL:

Link HTML:

Link para foros: