La geometría del taxi.

En las últimas semanas, me interné y me dejé llevar por el atrapante mundo de las geometrías no euclídeas. Si bien no quiero que las geometrías no euclídeas sean el tema central del presente post, es necesario citarla.
No todo lo que nos enseñaron en la escuela es así o, al menos, siempre es así. Algo de eso pasa en la geometría. He aquí una muestra simple es intuitiva de como cosas que para nosotros son naturalmente así o únicamente así pueden ser de otra manera. Disculpe si le parece largo, pero lo invito a leerlo de igual manera, tómese su tiempo, lealo por partes, déjese llevar, le aseguro que arrepentirse no estará entre sus opciones cuando termine de leer. Espero que le resulte igual de interesante que lo que me resultó a mi. Sin más preámbulos comienzo con la exposición:

Un primer acercamiento.
Cuando alguien se desplaza de su domicilio al trabajo, en otro punto de la zona en que vive, calcula el tiempo que tardará en llegar en base a la distancia que debe recorrer, y a menudo descubre con desagrado que los cálculos no se corresponden con la realidad. El tráfico, los semáforos, la desposición de las calles..., todo parece confabularse en contra de los planes que se han hecho. El problema es que cuando uno imagina el trayecto, lo dibuja en su mente de manera geométricamente ideal, a veces, incluso, casi en linea recta; y la realidad no es geométricamente ideal. No sólo se trata de semáforos abarrotados o camiones ocupados en descargas imprevistas; los cálculos están determinados porque las manzanas de casas no son perfectamente cuadradas, los cruces de las calles no describen ángulos rectos perfectos... ¿Significa eso que es imposible diseñar un buen trayecto para ir a trabajar por la mañana?

Ubíquese en el plano de la izquierda. Si se considera que cada manzana de casas mide una unidad: ¿cuál es la distancia entre el punto rojo y el punto azul?

Al observar el dibujo es fácil pensar en un triángulo compuesto por la hipotenusa, que sería la línea recta entre los dos puntos, y los catetos, que serían las calles que llevan en L de un lugar a otro. En el ejemplo presente, uno de los catetos mide 4 unidades y el otro 2. Si se aplica el teorema de Pitágoras (a² + b ² = c²) se obtiene que la hipotenusa mide: 

√(4² + 2 ²)= √20 = 4,47 unidades. Si lo que se pretende calcular es el tiempo de desplazamiento, es evidente que esa distancia induce a engaño, porque no se puede ir de un punto a otro en línea recta. La distancia será, como mínimo, la suma de los catetos, es decir, 6 unidades.Se puede intentar ensayar varias trayectorias alternativas para encontrar la más rápida. Hay muchas variables: combinar movimiento verticales y horizontales, doblar en la primera calle y después en la segunda, o esperar dos calles para doblar,... No obstante, la distancia recorrida será en todos los trayectos de 6 unidades.

Lo invito a que lo intente, a que se desafíe y lo compruebe, hay sólo 15 posibilidades, no más, en todas la distancia es la misma: 6.

Así, parece que la distancia real no es la que se presenta a primera vista, la que la lógica indica, o la que los recursos de cálculo tradicionales permiten descubrir. Aparece un concepto de distancia distinto al usual, la denominada distancia del taxi (taxi-distancia). Quizás parezca una broma, pero este concepto de distancia dio origen a la taxi-geometría.

La taxi-distancia.

La distancia que habitualmente se enseña en la escuela es la distancia euclídea. Ésta deriva del teorema de Pitágoras y establece que la distancia entre dos puntos P y Q de coordenadas P = (x₁; y₁) y Q = (x₂; y₂) es: 

d(P; Q) = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² 

En contrapartida, la distancia mínima que mide el desplazamiento real en una ciudad en forma de cuadrícula se define como:

d_T(P; Q) = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|

Esta distancia alternativa se conoce como distancia de Manhattan o distancia de Minkowski, por ser su descubridor, Hermann Minkowski. A nivel más popular y haciendo gala de cierto sentido del humor, es denominada distancia del Taxi.
En los gráficos siguientes, la longitud de la línea punteada indica el valor de la distancia euclídea, y la suma de las longitudes de los segmentos laterales indica el valos de la distancia del taxi. si el punto C indica el origen de coordenadas, se puede asignar al punto A las corrsdenadas (2; 1) y, al punto B las coordenadas (0; 5). Así la distancia euclidea es de 4,47 unidades y la taxi-distancia es de 6 unidades. Nótese que la ubicación del origen de coordenadas no afecta al cálculo de ninguna de las distancias.

Invitación a pensar.
Ya definidos ciertos criterios necesarios, te invito a que los leas y releas hasta que les encuentres sentido, es simple, no es complicado.
En el siguiente post vamos a ver algunos ejemplos de figuras geométricas en la taxi-metría que van en contra de la intuición, que contradicen leyes milenarias pero respetando a la geometría, que sorprenden hasta dejarnos boquiabiertos...
Nos vemos!

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