(SOLUCION) De focos y pensamiento lateral.

Disculpen la tardanza, pero lo bueno tarda en llegar.
Después de esta especia de vacaciones prometemos que matemágica seguirá su curso normalmente, publicando problemas interesantes como ya es característico nuestro y además difundiendo distintos temas olvidados en la educación pública pero, tal vez, muchísimo más atrapantes que los incluidos en la misma.

Ahora vamos a lo que nos compete que es dar la solución a este viejo problema.

Para aquél que no lo leyó le sugerimos que visite el post "De focos y pensamiento lateral" ya que el presente post es una solución al problema que allí se plantea.

Ahora bien, vamos a ver que no es tan difícil como puede parecer en un principio.

Tenemos tres interruptores, activamos el primero, permanecemos fuera de la habitación durante unos veinte minutos (recordemos que no podemos espiar ni abrir la puerta del cuarto). Una vez que pasaron esos veinte minutos desactivamos el primero y, automaticamente, activamos el segundo, luego ingresamos a la habitación.
A esta altura ya estamos en condiciones de asegurar sin equivocarnos cual de los tres interruptores encendía la luz escondida en la habitación, si, con un 0% de margen de error (refrescamos, por si usted no se acuerda, que todo está en perfectas condiciones, el foco funciona y es encendido por uno de esos tres interruptores, no hay cables pelados, ni focos quemados, ni luces tapadas, todo es normal, no hay golpes bajos ni trampas).
La pregunta es ¿cómo es que podemos asegurar con un 0% de margen de error cual es el interruptor que activa la luz? Simple, vea:
- Cuando ingresamos vemos la luz, si está encendida no hay vueltas, es el segundo interruptor el que la activa.
- Si está apagada hay dos opciones, o es el interruptor 1 o es el 3. Para sacarnos esta duda lo que hacemos es tocar el foco.
- Si está caliente es el interruptor 1, porque es el que mantuvo encendido el foco hasta que ingresamos a la habitación y, por lo tanto, el que lo calentó.
- Si está frío cae de maduro que el interruptor que lo enciende es el 3.

Con las cosas aclaradas me retiro hasta un nuevo problema. Gracias por leer.

De focos y pensamiento lateral.

Hola a todos nuevamente. Estuve algo atareado y cansado, sin ganas, pero igualmente vengo a dejarles este problemita.

Antes de relatarlo, quiero aclarar que no hay ninguna trampa. Con los datos que provee el enunciado es suficiente como para abordar a una solución que dé respuesta al problema.

Acá va:
Tenemos una habitación vacía, salvo por un foco que está colgado del techo. El interruptor para encender el foco está, pero fuera de la habitación, de hecho no es el único interruptor sino que hay tres, idénticos. Los tres están en la misma posición, la de apagado, por lo tanto es obvio que el foco está apagado, pero sólo uno de esos tres enciende la luz del foco.
Nosotros estamos fuera de la habitación y la puerta está cerrada, de modo que no se puede ver para adentro. Tenemos todo el tiempo que queramos para "divertirnos" tocando los interruptores, podemos hacer las combinaciones que queramos, no tenemos restricciones a la hora de "jugar" con las llaves que encienden el foco. Eso si, después de un tiempo (el que nosotros decidamos) vamos a tener que entrar en la habitación y al salir tendremos que decir cuál de los tres interruptores es el que enciende la luz, sin error. Esa es la pregunta del problema ¿Cuál de los tres interruptores enciende la luz?

Repito, no hay algo raro, no sale luz por debajo de la puerta, no hay una ventana por la cual podamos ver, no está quemado el foco, no encienden los tres interruptores la luz, no, no hay golpes bajos, con los datos que usted leyó puede elaborar una estrategia ganadora.

¡VAMOS! ¡ÁNIMO! Pensando, cuando lea la respuesta no va a poder creer lo simple que era...

Mañana, o cuando pueda, la solución...

[RESPUESTA] Un problema con presos y sombreros.

El siguiente post es una respuesta a "Un problema con presos y sombreros". Si no lo leiste, te pido que lo leas para que puedas comprender esta respuesta...

Hola a todos queridos lectores de φmatemágica. Aquí traigo solución al problema del día de ayer, presos y sombreros.
Para hacerlo un poco más ameno decidí no escribir, sino hacer un pequeño videito con una superproducción de vasos... jejeje

Espero que les haya gustado y lo hayan entendido, en breve otro intrigante problema φmatemágico...

Un problema con presos y sombreros.

Hoy, llegado ya el final de las clases, con temas ya terminados y evaluados y sin tiempo para arrancar y terminar algo nuevo decidí llevarles a mis alumnos algunos acertijos que plantean desafíos en el cual debemos usar la lógica y la matemática para salir triunfadores. Lo cierto, es que la hora de "Matemática" ya los predispone mal, los fastidia, sin embargo con un poco de esfuerzo y el buen planteo de los problemas algo logran engancharse con la ciencia.
Ahora les voy a plantear a ustedes uno de los acertijos que logramos resolver con ellos. Piense y evalúe.

En una cárcel hay tres presos, José, Nicolás y Sebastián. El jefe de la cárcel decide, por su buena conducta durante su condena, premiarlos con la libertad; pero eso si, antes deberán sortear una prueba. El jefe les explica:
Tengo cinco sombreros, 3 son blancos y 2 negros. Yo le pondré a cada uno de ustedes un sombrero en la cabeza, de modo que sobrarán 2. Ustedes no pueden saber qué color de sombrero tienen, no lo verán. A continuación los encerraré en una habitación y allí podrán ver el color de sombrero que tiene cada uno de sus compañeros. Luego, con los datos recogidos de la observación deberán decirme cuál es el color del sombrero que tienen en su cabeza, fundamentando, sin jugarse al azar, sin arriesgar. No pueden hacerse señas ni mantener un código, sólo con lo que puedan ver. Si al menos uno de los tres acierta y logra argumentar correctamente, quedarán todos en libertad.
Pondré el siguiente ejemplo para explicarme mejor: Supongamos que José tiene un sombrero negro, Nicolás uno blanco y Sebastián el otro negro. Cuando le pregunte a José "¿Cuál es el color de tu sombrero?", no podrá responder porque, al ver que sus compañeros tienen uno un sombrero blanco y el otro uno negro, no posee datos suficientes, deberá decir "paso", sin dar mayores explicaciones que ayuden a los otros dos. Pero, cuando sea el turno de Nicolás, este si podrá saber que su sombrero es blanco porque; al ver que sus dos compañeros tienen sombreros negros y, sabiendo que solamente hay dos sombreros negros, indefectiblemente el suyo deberá ser blanco.
Una vez explicado el desafío, el jefe procedió a aplicarlo a la realidad con los tres reclusos. Como era de esperar utilizó los tres sombreros blancos.
José, viendo que sus compañeros tenían los dos sombreros blancos, obviamente dijo "paso". Nicolás, igual que José, no poseía los datos suficientes y decidió pasar. Finalmente, cuando llegó el turno de Sebastián, todos esperaban lo peor. Sebastián pensó por un momento, lo meditó, cerró sus ojos. El clima era de extrema tensión, el ambiente se cortaba con una hoja de afeitar. Pasados 15 minutos de tensión, Sebastián dice con seguridad "Puedo estar 100% confiado de que mi sombrero es blanco".
¿Cómo pudo Sebastián afirmar con tanta certeza su respuesta? ¿En qué y cómo lo habrá pensado?

Mañana les traeré el razonamiento y, si les gusta este, otro problema con sombreros...

[Respuesta] Hablando de curiosidades...

Antes de empezar a leer, te aclaramos que esta es una solución al problema propuesto en "Hablando de curiosidades..." Por lo tanto, si no leíste el problema, no vas a entender qué es lo que estamos solucionando. Así que, por favor, lee ese post antes de seguir con este... ¿Te parece?

Hola a todos, ¿Quedaron intrigados? ¿Pensaron en algo?
No era tan difícil después de todo, la respuesta la podemos encontrar pensando en los divisores y múltiplos que aprendimos en la escuela. No es necesario acordarse la tabla con las propiedades de divisibilidad completa, es más fácil; es pensar lo que hicimos, pero pensémoslo al revés.
Notemos que los números 7, 11 y 13 no fueron producto del azar, de la fortuna, fue una decisión pensada hacer esto... Y ahora, si hacemos lo que dije hace poco (pensar al revés) invertimos el proceso y, en lugar de dividir multiplicamos, obtendremos...

7 x 11 x 13 = 1.001

Ahora, si en esta operación incluimos un número cualquiera de tres cifras, es seguro que aparecerá replicado, es decir:

abc x 1.001 = abc.abc

Ahora, sabiendo esto, cuando pensamos lo que hicimos nos damos cuenta de que esto no es tan mágico como creíamos, porque cuando arrancamos elegimos un número cualquiera de tres cifras (abc). Después, al copiarlo y pegarlo (abc.abc) en realidad, inconscientemente lo multiplicamos por 1.001. Luego, lo dividimos por 7, 11 y 13, nuevamente, inconscientemente lo que hicimos esta vez fue dividirlo por 1.001. Aquí creo que usted solo se dio cuenta de lo que sucede, es esperable que al multiplicar un número por otro y después dividirlo por el mismo se obtenga el número que teníamos en un principio, no es magia, es matemática o, si se prefiere, matemágica.
Ahora, ¿lo de las divisiones exactas? ¿eso no es extraño también? La verdad es que no, no lo es tanto. Si pensamos lo que hicimos nuevamente veremos que cuando uno replica el número inicial lo que obtenemos indefectiblemente es un múltiplo de 1.001 y, 1.001 es múltiplo de 7, 11 y 13 a la vez, por lo tanto el número obtenido también lo es y no tendría porqué la división no dar exacta.

Hablando de curiosidades...

Al parecer, comentando el post anterior con mis conocidos, me pareció que se interesaron. Aunque pocos ellos, pero al menos los primeros en comenzar a darle vida y forma a esta bella página de intercambio y divulgación de la ciencia.
La pregunta automática es ¿Por qué se interesaron? y la respuesta es "porque la intriga los invadió". Es cierto, la intriga de porqué pasa algo a pesar de que haga lo imposible para que no pase, ¿Por qué? Y, entre tanta duda, la verdad es que la intriga tiene su belleza y su encanto.
Siguiendo con esa consigna, la de intrigar al lector, acerco este otro problemita, o juego, que seguramente lo hará pensar un rato.

Comienzo: Elija tres dígitos cualquiera que conformen un único número de tres cifras (preferentemente tres números distintos, aunque esto no hace a la cuestión, el truco sucede igual). A solo hecho de ejemplificar voy a elegir tres números yo, pero por favor, le pido a usted que elija otros tres, para que descubra a la par que lee lo que va sucediendo, pero de otra manera... El número de tres dígitos que yo elijo es el 248. Ahora, haremos un copiar y pegar de este número al principio. Es decir, lo escribiremos dos veces consecutivas. En este caso queda:

248.248

Ahora, haremos tres divisiones, nada difícil, existen las calculadoras para eso también. Al número obtenido lo dividiremos sucesivamente, primero por 7, después por 11 y finalmente por 13. (En realidad las divisiones, en este caso, no alteran el resultado final) ¿Qué obtenemos? Déjeme adivinar, ¡¡el número de tres cifras que se tenía al principio!! ¿Adiviné? ¡¡Y eso que desde la pantalla de mi PC no puedo ver su imaginación!!
Veamos si se cumple en mi caso también:

248.248 : 7 = 35.464

Después,

35.464 : 11 = 3.224

Finalmente:

3.224 / 13 = 248

Ahora, la pregunta que uno se hace es ¿Por qué pasa esto? ¿Siempre pasa? además de eso ¿No le llamó la atención que cada división que hizo dio exacta? (es decir, sin coma, con resto 0) ¿No es interesante que así sea?
Ahora lo dejo a usted, piense, conjeture, comparta el problema con sus conocidos, contágieles un rato la intriga y la curiosidad a ellos también. Mañana, o cuando pueda, vuelva a visitar el blog para encontrar la respuesta o para compararla con la que usted tiene, pero eso si, no se quede en la cómoda y piense, hágame ese favor.

28/11/2011 Si querés quitarte la intriga, hacé click acá...

Soluciones a "65... Algo de matemática... Algo de magia..."

Antes de empezar a leer, te aclaramos que esta es una solución al problema "65... Algo de matemática... Algo de magia..." Por lo tanto, si no leíste el problema, no vas a entender qué es lo que estamos solucionando. Así que, por favor, lee ese post antes de seguir con este... ¿Te parece?

Ahora si, la solución, no es nada del otro mundo, seguramente si lo pensaban un poco, o tal vez lo hayan pensado, hayan encontrado la respuesta o una explicación a lo que sucede, al principio parece raro, mágico, pero conforme uno indaga, razona y conjetura todo se va aclarando de a poco...

Antes de dar la respuesta, o una de las respuestas, intentaré familiarizarlos con el concepto de matriz. Una matriz, en matemática, es un cuerpo de números con un orden. Ese orden está dado por filas y por columnas de manera que cada número sea independiente del otro, pero que todos juntos conformen un conjunto ordenado. La matriz puede ser cuadrada (cuando hay igual cantidad de filas y de columnas), rectangular (cuando hay más filas que columnas o viceversa) o unitaria (conformada por una única fila y columna y por lo tanto por un solo número). En el caso del problema, era una matriz cuadrada de 5 filas y 5 columnas, lo que comúnmente denominamos una matriz de 5 x 5. 
Como la idea de este post no es dar cátedra sobre matrices voy a dejarlo ahí, con lo que leí alcanza para resolver el problema, si no entendió, relea, no es una idea alocada, es simple... Si el tema le interesó y desea saber más, investigue, pregunte, para eso estamos los profesores.

Para explicarlo de una manera fácil e intuitiva voy a dibujar de nuevo esta matriz de 5 x 5, pero en lugar de escribir los números como en el problema original, de esta otra manera, que es lo mismo:

Ahora, observemos detenidamente la matriz escrita de esta forma. Ya se sabe que tenemos que elegir un número por fila y uno por columna.
Se nota con claridad que, eligiéndolos de cualquier manera, siempre van a aparecer:

un 1, un 6, un11, un 16 y un 21.

Y además, uno y sólo uno de cada uno de ellos. Además, como se ve, también aparecerán:

un 1, un 2, un 3 y un 4

que harán compañía sumados a algún 1, 6, 11, 16 ó 21.
Ahora, haciendo evidente esta descomposición aritmética de los números podemos sumarlos así:

1 + 6 + 11  16 + 21 = 55

Y, además, la compañía que se les suma:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Conclusión: Cuando sumamos los cinco número que tenemos que elegir, no existe forma de que no resulte la suma:

55 + 10 = 65

que es lo que queríamos demostrar.

Existen más formas de demostrar la respuesta, este no es el única camino, es sólo el que creí más adecuado para este blog, el más intuitivo y fácil de comprender.

Descartes, una nueva manera de enseñar matemática.

Hola nuevamente queridos amigos.
Estoy aquí para recomendarles este novedoso software con el que me topé buscando algo original para trabajar en mis clases con las flamantes netbooks que da el estado. Se trata de una iniciativa del Ministerio de educación español cuyo fin es introducir las nuevas tecnologías en el plano educativo.

Tiene actividades para la mayoría (yo diría todos) de los temas incluidos en los nuevos diseños curriculares de aquí, de Argentina.
Haciendo click irá a la pagina principal del proyecto Descartes... Allí verá todos los temas, podrá experimentar con ellos y evaluar su utilización.
A algunos les gustará y facilitará las cosas, otros profes lo odiarán, lo cierto es que es algo novedoso y que, estaría bueno, nos podamos permitir nosotros y permitirles a nuestros alumnos usar en nuestras clases.

65... Algo de matemática... Algo de magia...

El siguiente problema presenta un desafío. Yo voy a guiarlo para que compruebe algo conmigo. Una vez que se convenza, la idea es tratar de entender por qué sucede lo que sucede. Note que el título del post tiene un número, no es como los demás... Habla de magia...

Acá va. Tenemos un tablero de 5x5 (como si fueran las casillas de un tablero de ajedrez, pero de 5x5).

Como se ve, están distribuidos los primeros 25 números. Elija un número cualquiera (digamos el 14, por poner un ejemplo). Ahora, tache la fila y la columna en la que aparece el 14. Resulta entonces lo siguiente:

Ahora, elija cualquier otro número de los que quedan. Digamos el 23. Ahora, tache nuevamente la fila y la columna en la que figura ese número. Queda entonces la siguiente configuración.

Y repita el procedimiento. Es decir, elija cualquiera de los números que quedan en el tablero, que no fueron tachados. Digamos el 2. Y como antes, vuelva a tachar todos los números que figuran en la columna del 2 y en la fila que contiene al 2. Se tiene la siguiente configuración:

Demos un paso más (ya quedan pocos números para elegir). Digamos el 20. Como resultado se tiene la siguiente figura:

Ahora, ya no queda más que un solo número para elegir; el 6:

En resumen: hemos elegido un número por columna y por fila: 14, 23, 2, 20 y 6. Súmelos:

2 + 6 + 14 + 20 + 23 = 65

Ahora, sin mi guía, repita el proceso desde el principio con otros números. Es decir: empiece eligiendo un número cualquiera, tache la fila y la columna en la que figura, elija otro, repita el proceso tachando la fila y la columna respectiva, y así hasta que quede un solo número sin tachar. Cuando tenga "elegidos" los cinco números, súmelos. ¿Cuánto le dio?
Si, es curioso: sin importar cómo los haya elegido, el resultado de la suma es siempre 65. Por supuesto, uno podría quedarse con esta curiosidad y terminar acá. Pero ¿no le dan ganas de entender por qué pasa lo que pasa?
Es un buen momento para pensar en soledad. Y, eventualmente, volver mañana al blog y al post para verificar que la explicación que aquí si propondrá es similar a la suya, o incluso si la suya es mejor (lo cual es muy probable). Si lo desea, puede comentar el post con su razonamiento, después de todo esa es la idea final de internet, comunicarnos e intercambiar ideas y razonamientos. Cuando quiera, vuelva. No me voy a ninguna parte.

Si lo desea, he aquí una posible respuesta a lo que ocurre: SOLUCIÓN

La geometría del taxi. Parte II

Para que entiendas este post, o para que verdaderamente lo disfrutes, es necesario que leas esto con anterioridad:
http://www.matemagica.com.ar/2011/11/la-geometria-del-taxi.html

Lo que haremos ahora es ver el comportamiento de figuras conocidas como el triángulo, la circunferencia y la elipse en el mundo de la geometría del taxi. Los resultados son asombrosos, contradictorios y antiintuitivos. Te invito a que te asombres vos también, vení, seguí leyendo...

Un ejemplo con triángulos.
La geometría euclídea (tradicional) contiene el enunciado sobre triángulos conocido como el "criterio lado-ángulo-lado de congruencia de triángulos", que afirma lo siguiente:
si tenemos dos triángulos con vértices ABC y A'B'C' respectivamente de lados AB, AC, BC y A'B', A'C', B'C' de manera que AB = A'C' y AC = A'C' con el ángulo BAC igual a B'A'C', entonces el lado BC es igual al lado B'C', es decir, los triángulos son congruentes.
En palabras más coloquiales, el enunciado quiere decir que si dos triángulos tienen dos lados de igual longitud y el ángulo delimitado por éstos es el mismo en cada triángulo, entonces el tercer lado tiene la misma longitud en ambos triángulos, es decir, que los triángulos son iguales.
Este resultado aparentemente tan obvio es una absoluta falsedad según la geometría del taxi.
Considérense los triángulos de vérticas A = (3;1), B = (1,3), C = (5,3) y A₁ = (4;4), B₁ = (8;4), C₁ = (4;0) representados en el gráfico siguiente:

Se puede comprobar que:

d_T (A;B) = 4 = d_T (A₁;B₁)

y que:

d_T (A;C) = 4 = d_T (A₁;C₁)

Por tanto, en taxi-distancia, los lados b = b₁ y c = c₁. Nótese también que el ángulo BAC coincide con el ángulo B₁A₁C₁ (En el ejemplo es de 90º). Pese a ello, el lado a no mide lo mismo que el lado a₁. En el ejemplo se observa que uno de los triángulos es equilátero (los tres lados son iguales) y el otro es isósceles (sólo tiene dos lados iguales). Son triángulos distintos, lo que contradice a la geometría euclídea.

Sobre circunferencias.
La circunferencia es omnipresente tanto en el mundo natural como en el mundo construido por los hombres, por lo que se trata quizás de la figura geométrica más sencilla y fácil de describir. Si se piensa en una circunferencia, acuden a la mente multitud de objetos circulares, y muchos de ellos contienen la propia definición de la figura y ayudan a comprenderla de manera precisa. Por ejemplo, al considerar las ruedas de la bicicleta, resulta evidente que todos los rayos deben tener la misma longitud, de lo contrario sería muy difícil pedalear y muy fácil caerse de la bicicleta. Todos los rayos tienen la misma longitud porque todos los puntos que contiene el neumático están a la misma distancia del centro. He aquí la definición técnica de la circunferencia en un plano:
Se denomina "circunferencia" al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo.
Este punto fijo se denomina centro y el valor de la equidistancia se denomina longitud del radio.
Así, si se escoge un punto cualquiera P de la circunferencia (de centro A y radio r) se verificará que d(P;A) = r. Por ejemplo, si se toma como centro A = (2;-1) y por radio 3 unidades, gráficamente el conjunto de todos los puntos P que verifican la relación anterior para los valores de A y de r será la circunferencia siguiente:

El dibujo anterior se ha realizado considerando la distancia euclidea, pero si se dibuja la circunferencia según la taxi-distancia se pbtiene un resultado muy distinto... y realmente extraño, como puede verse a continuación:

Se puede comprobar que efectivamente los puntos P de esta circunferencia en taxi-distancia verifican d_T = (P;A) = r, con A = (2;1) y r = 3. En la taxi-distancia se hace posible lo que siempre ha parecido absurdo: la cuadratura del círculo.
Si en el ejemplo considerado se calcula el perímetro de la circunferencia en términos tradicionales, usando la clásica fórmula per = 2 . Π . r, se obtendrá per = 2 . Π . 3 = 18,849. En cambio la longitud de la circunferencia en la taxi-distancia es de 6 + 6 + 6 + 6 = 24 unidades, y además, expulsa a Π fuera de la cuestión.

Sobre elipses.
Muchas otras figuras que en la geometría euclidea son completamente fiables se comportan de manera excéntrica en la taxi-geometría; por ejemplo, la elipse. Una elipse es el conjunto de puntos la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos es constante. A estos puntos fijos se les denomina focos. Nótese que la circunferencia es un caso particular de la elipse, en el que ambos focos coinciden en un punto central.
En el siguiente ejemplo, los focos son A = (-3;0) y B = (3;0) y la constante 10 unidades. Por tanto, los puntos P que verifican d(P;A) + d(P;B) = 10 son los siguientes:

Si se sustituye la distancia euclidea por la taxi-distancia, se obtiene que el conjunto de puntos P que verifican d(P;A) + a(P;B) = 10 dan, de nuevo, una representación del todo inesperada:

Estos ejemplos demuestran que la forma de las figuras geométricas no es una verdad universal, eterna e inmutable, sino que es relativa, por difícil que parezca. Depende de la métrica o distancia que se usa para calcularla, lo que equivale a decir que depende del color del cristal con que se mira.
Pero la taxi-distancia no es sólo un divertimento que produce curiosidades. Tiene muchas aplicaciones en urbanismo. Por ejemplo, permite distribuir en el territorio urbano instalaciones de interés público con criterios de cercanía o proximidad (hospitales, escuelas, puntos turísticos, etc.), y es fundamental también en la planificación de rutas.

La geometría del taxi.

En las últimas semanas, me interné y me dejé llevar por el atrapante mundo de las geometrías no euclídeas. Si bien no quiero que las geometrías no euclídeas sean el tema central del presente post, es necesario citarla.
No todo lo que nos enseñaron en la escuela es así o, al menos, siempre es así. Algo de eso pasa en la geometría. He aquí una muestra simple es intuitiva de como cosas que para nosotros son naturalmente así o únicamente así pueden ser de otra manera. Disculpe si le parece largo, pero lo invito a leerlo de igual manera, tómese su tiempo, lealo por partes, déjese llevar, le aseguro que arrepentirse no estará entre sus opciones cuando termine de leer. Espero que le resulte igual de interesante que lo que me resultó a mi. Sin más preámbulos comienzo con la exposición:

Un primer acercamiento.
Cuando alguien se desplaza de su domicilio al trabajo, en otro punto de la zona en que vive, calcula el tiempo que tardará en llegar en base a la distancia que debe recorrer, y a menudo descubre con desagrado que los cálculos no se corresponden con la realidad. El tráfico, los semáforos, la desposición de las calles..., todo parece confabularse en contra de los planes que se han hecho. El problema es que cuando uno imagina el trayecto, lo dibuja en su mente de manera geométricamente ideal, a veces, incluso, casi en linea recta; y la realidad no es geométricamente ideal. No sólo se trata de semáforos abarrotados o camiones ocupados en descargas imprevistas; los cálculos están determinados porque las manzanas de casas no son perfectamente cuadradas, los cruces de las calles no describen ángulos rectos perfectos... ¿Significa eso que es imposible diseñar un buen trayecto para ir a trabajar por la mañana?

Ubíquese en el plano de la izquierda. Si se considera que cada manzana de casas mide una unidad: ¿cuál es la distancia entre el punto rojo y el punto azul?

Al observar el dibujo es fácil pensar en un triángulo compuesto por la hipotenusa, que sería la línea recta entre los dos puntos, y los catetos, que serían las calles que llevan en L de un lugar a otro. En el ejemplo presente, uno de los catetos mide 4 unidades y el otro 2. Si se aplica el teorema de Pitágoras (a² + b ² = c²) se obtiene que la hipotenusa mide: 

√(4² + 2 ²)= √20 = 4,47 unidades. Si lo que se pretende calcular es el tiempo de desplazamiento, es evidente que esa distancia induce a engaño, porque no se puede ir de un punto a otro en línea recta. La distancia será, como mínimo, la suma de los catetos, es decir, 6 unidades.Se puede intentar ensayar varias trayectorias alternativas para encontrar la más rápida. Hay muchas variables: combinar movimiento verticales y horizontales, doblar en la primera calle y después en la segunda, o esperar dos calles para doblar,... No obstante, la distancia recorrida será en todos los trayectos de 6 unidades.

Lo invito a que lo intente, a que se desafíe y lo compruebe, hay sólo 15 posibilidades, no más, en todas la distancia es la misma: 6.

Así, parece que la distancia real no es la que se presenta a primera vista, la que la lógica indica, o la que los recursos de cálculo tradicionales permiten descubrir. Aparece un concepto de distancia distinto al usual, la denominada distancia del taxi (taxi-distancia). Quizás parezca una broma, pero este concepto de distancia dio origen a la taxi-geometría.

La taxi-distancia.

La distancia que habitualmente se enseña en la escuela es la distancia euclídea. Ésta deriva del teorema de Pitágoras y establece que la distancia entre dos puntos P y Q de coordenadas P = (x₁; y₁) y Q = (x₂; y₂) es: 

d(P; Q) = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² 

En contrapartida, la distancia mínima que mide el desplazamiento real en una ciudad en forma de cuadrícula se define como:

d_T(P; Q) = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|

Esta distancia alternativa se conoce como distancia de Manhattan o distancia de Minkowski, por ser su descubridor, Hermann Minkowski. A nivel más popular y haciendo gala de cierto sentido del humor, es denominada distancia del Taxi.
En los gráficos siguientes, la longitud de la línea punteada indica el valor de la distancia euclídea, y la suma de las longitudes de los segmentos laterales indica el valos de la distancia del taxi. si el punto C indica el origen de coordenadas, se puede asignar al punto A las corrsdenadas (2; 1) y, al punto B las coordenadas (0; 5). Así la distancia euclidea es de 4,47 unidades y la taxi-distancia es de 6 unidades. Nótese que la ubicación del origen de coordenadas no afecta al cálculo de ninguna de las distancias.

Invitación a pensar.
Ya definidos ciertos criterios necesarios, te invito a que los leas y releas hasta que les encuentres sentido, es simple, no es complicado.
En el siguiente post vamos a ver algunos ejemplos de figuras geométricas en la taxi-metría que van en contra de la intuición, que contradicen leyes milenarias pero respetando a la geometría, que sorprenden hasta dejarnos boquiabiertos...
Nos vemos!

Diferencia entre un matemático y un biólogo.

Este ejemplo sirve para ilustrar algunas diferencias entre personas que eligieron estudiar en la misma facultad, pero que tienen intereses distintos. Tuve la tentación de escribir que presenta (nos presenta) a los matemáticos como un poco bobos. Sin embargo, no estoy tan seguro de que sea así. Los dejo juzgar a ustedes.
Una persona tiene delante de si a dos científicos: un matemático y un biólogo. El objeto es plantearles a ambos un problema y ver qué tipo de respuesta daría cada uno. Les muestra entonces los elementos que tiene arriba de una mesa:

1. Un calentador con kerosene en el tanque.
2. Una pava con agua.
3. Fósforos.
4. Una taza.
5. Un saquito de té.
6. Una cucharita

El primer problema, consiste en hacer un té. El biólogo dice:
- Primero, pongo la pava con agua arriba del calentador. Enciendo un fósforo y con él, el calentador. Espero que hierva el agua. Pongo el saquito de té dentro de la taza. Vierto el agua dentro de la taza y revuelvo con la cucharita para que el saquito de té tiña el agua.
El matemático (y no hay error de redacción): - Primero, pongo la pava con agua arriba del calentador. Enciendo un fósforo y con él, el calentador. Espero que hierva el agua. Pongo el saquito de té dentro de la taza. Vierto el agua dentro de la taza y revuelvo con la cucharita para que el saquito de té tiña el agua.
- Bien, responde el examinador-. Ahora les planteo otro problema: supongamos que les doy el agua hervida y les pido que hagan el té. ¿Qué haría cada uno?
El biólogo contesta: -Bueno, en ese caso, pongo el saquito de té dentro de la taza. Vierto el agua ya hervida dentro de la taza y revuelvo con la cucharita para que el saquito de té tiña el agua.
El matemático dice, entonces: -Yo no. Yo espero a que el agua se enfríe y paso al caso anterior.
Sé que muchos de ustedes coincidirán con el biólogo. Pero al mismo tiempo los invito a reflexionar que el matemático tiene su razón: una vez que resolvió el caso más complicado, el primero que le plantearon, sabe que cualquier otra cosa que le propongan dentro del contexto la tiene resuelta. Y apela a ello. ¿No es interesante la vida así también?

Cabe aclarar que este contenido no es de mi autoría sino del gran Dr. Adrián Paenza. Más precisamente de su libro "Matemática ¿Estás ahí? Episodio I"

Colección: El mundo es matemático

Buenos días a todos queridos lectores. A partir de hoy me propuse mantener actualizado el Blog. Para comenzar con esta propuesta, comparto con ustedes la coleccion que comencé a comprar click aquí. Se llama "el mundo es matemático" lanzada por el diario "La nación" en Argentina. Muy buena y accesible.

Para más info click aquí.